1720-7903-1-SM

Optimización aplicada al sistema de intercambio de clave segura KLJN con garantía de error máximo fijo

OPTIMIZATION APPLIED TO THE KLJN SECURE KEY EXCHANGE SYSTEM WITH MAXIMUM FIXED ERROR GUARANTEE

Edwin Collado1*

edwin.collado@utp.ac.pa

Yessica Sáez2

yessica.saez@utp.ac.pa

1Centro de Innovación y Transferencia Tecnológica, Universidad Tecnológica de Panamá,

2Centro Regional de Azuero, Universidad Tecnológica de Panamá

Resumen El sistema de intercambio de clave segura KLJN ha demostrado proveer seguridad incondicional de forma simple y con muy pocos componentes electrónicos. Sin embargo, este sistema presenta errores estadísticos que dependen de parámetros como la ventana de tiempo para realizar el intercambio de la clave y otros que son relevantes en la interpretación de los bits de la clave. El objetivo de este trabajo es desarrollar estrategias que permitan obtener valores óptimos de dichos parámetros, mientras se asegura que los errores se mantengan dentro de valores aceptables. Los resultados obtenidos demuestran que las técnicas de optimización propuestas no solo garantizan que los errores no sobrepasen un límite de error máximo fijo permitido, sino que también permiten manejar eficientemente los recursos del sistema al utilizar valores óptimos de los parámetros importantes en el análisis de error.

Palabras claves–Optimización, probabilidad de error, ruido de Johnson, seguridad incondicional, sistema KLJN

Abstract– The KLJN secure key exchange system has been proven to provide unconditional security in a simple way with very few electronic components. However, this system presents statistical errors that depend on parameters such as the time window for performing the key exchange and other relevant parameters used in the interpretation of the key bits. The objective of this work is to develop strategies to obtain optimal values of these parameters while ensuring that errors are kept within acceptable values. The results show that the proposed optimization techniques not only guarantee that the errors do not exceed a fixed maximum allowed error limit, but also allows to efficiently manage the system resources by using optimal values of the important parameters in the error analysis.

Keywords–Optimization, error probability, Johnson´s noise, unconditional security, KLJN system

1. Introducción

La comunicación electrónica se ha convertido en una de las partes más importantes de las actividades cotidianas del ser humano. Una gran cantidad de información, en su mayoría confidencial y sensible, es enviada, recibida y/o almacenada cada segundo. Por tal razón, resulta esencial contar con medidas de seguridad adecuadas que garanticen las cuatro características básicas de seguridad en una red de telecomunicaciones: autenticación, integridad, confidencialidad y no repudio [1]. Autenticación para garantizar la identidad de los que se comunican en la red, integridad para asegurar que usuarios no autorizados no puedan leer y/o modificar la información que se transmite, confidencialidad para asegurar que la comunicación permanezca privada y protegida todo el tiempo, y no repudio para que los involucrados en el proceso de comunicación no puedan negar haber enviado/recibido un mensaje [1], [2]. Existen numerosos métodos y algoritmos orientados a asegurar estas características [2], donde uno de las más importantes es el cifrado o criptografía de datos [3].

El cifrado consiste en aplicar un algoritmo con cierta clave para transformar los mensajes y así garantizar la confidencialidad [3]. Existen dos técnicas principales de cifrado, una de ellas es el cifrado asimétrico, el cual utiliza dos claves, una públicamente conocida y una privada, para cifrar y descifrar información, respectivamente. La otra técnica, y el foco de atención en el contexto de este trabajo, es el cifrado simétrico, en donde las dos partes involucradas en la comunicación (a menudo llamados Alice y Bob), generan e intercambian una sola clave, usualmente representada por una secuencia aleatoria de dígitos binarios (bits), para cifrar y descifrar la información.

Durante el proceso de intercambio de la clave simétrica, existe la posibilidad de que un usuario no autorizado (un espía, a menudo denominado Eve) esté monitorizando continuamente la comunicación. Por lo tanto, la seguridad en la comunicación depende grandemente de la capacidad que tengan Alice y Bob para intercambiar la clave de seguridad de forma secreta, mientras Eve monitoriza/escucha dicho intercambio.

Lastimosamente, la mayoría de los métodos empleados para generar e intercambiar esta clave, son basados en software y solo proveen un nivel de seguridad (computacionalmente) condicional. A simple vista, dichos métodos parecen inquebrantables, sin embargo, su efectividad no está totalmente garantizada en el futuro [4]-[7], ya que con acceso a un poder de computación adecuado o a un algoritmo lo suficientemente eficiente, un espía podría descubrir la clave y obtener acceso a la información que haya sido cifrada con la misma.

En contraste al cifrado digital, se encuentran los esquemas de intercambio de clave de capa física, los cuales son técnicas alternativas para ocultar información de espías. Dichas soluciones prometen ser incondicionalmente seguras [1]. Esto quiere decir que, a nivel teórico, la información se mantiene segura, incluso cuando Eve cuente con un poder de computación infinito y velocidad y precisión de medición ilimitadas. Es importante mencionar que la implementación práctica de dichos sistemas, en los cuales la clave tiene una longitud finita y se cuenta con un tiempo limitado para realizar el intercambio, puede no mantener esa seguridad incondicional. Sin embargo, desde el punto de vista probabilístico, el objetivo es lograr que el espía tenga una probabilidad muy pequeña de romper la seguridad [4], [5].

El primer esquema de seguridad en clamar seguridad incondicional fue el sistema de distribución de clave cuántica (QKD, quantum key distribution) [8]. Sin embargo, existen debates entre expertos sobre los niveles de seguridad alcanzados en este sistema [9]- [13]. Además, aunque discusiones indican que a través de nuevos enfoques (Ver [14], [15]) se podrían lograr niveles de seguridad más satisfactorios, todavía existen ciertas limitaciones prácticas como su precio, tamaño, cobertura, entre otros.

Afortunadamente, un prometedor sistema físico- clásico, de bajo costo, fue propuesto como alternativa para proveer seguridad incondicional utilizando solamente unos cuantos resistores, interruptores y cables [16]. Este sistema, conocido como intercambio de clave segura KLJN (Kirchhoof´s-Law-Johnson-Noise), está basado en las leyes de circuito de Kirchhoff y el teorema de fluctuación-disipación de física estadística. Su seguridad contra ataques pasivos (aquellos ataques en los que el espía trata de obtener información sin modificar la misma ni los recursos del sistema [1]) se basa en última instancia en la segunda ley de termodinámica [6], [16]-[20].

La simplicidad y el rendimiento del sistema KLJN han sido confirmados a través de su demostración experimental [17], cuyos resultados han motivado propuestas de modificaciones al sistema para mejorar su velocidad, cobertura y seguridad [21]-[25]. También se han propuesto una gran cantidad de aplicaciones potenciales, incluyendo distribución de clave segura en redes eléctricas inteligentes (Smart Grids) [26] y en comunicaciones vehiculares [26], [27] e informáticas [28], así como protección en componentes de hardware, procesadores, dispositivos de almacenamiento masivo, entre otras [29].

Como toda realización práctica, el sistema KLJN presenta limitaciones debido a su comportamiento en presencia de no-idealidades (tolerancia de las resistencias, capacitancia, resistencia e inductancia en el cable, efectos transitorios, entre otras [4], [6], [16]- [18]). Es por esto que se han propuesto y se siguen proponiendo (como en todo esquema físico de intercambio de clave) diversos tipos de ataques. Afortunadamente, hasta el momento, para los ataques propuestos existen mecanismos de defensa que han demostrado ser efectivos [21], [22].

El principio de funcionamiento del sistema KLJN se basa en mediciones de la media cuadrática del ruido (voltaje y/o corriente) del canal entre Alice y Bob. Dado que los mismos, cuentan con una ventana de tiempo finita para realizar dichas mediciones en el canal, los resultados de las mismas pueden presentar inexactitudes estadísticas. En consecuencia, se presentan errores en la interpretación de los valores de bit en el sistema [30]-circuito no presenta elementos de defensa contra ataques activos (o invasivos, es decir ataques en los que el usuario malicioso modifica intencionalmente el sistema con el objetivo de extraer información [1]), ni contra ataques dirigidos a vulnerabilidades representadas por elementos de construcción no ideales. El canal de comunicación KLJN es un cable. Ambas partes involucradas en la comunicación, Alice y Bob,[32].

Las probabilidades de los diferentes tipos de error en el sistema KLJN fueron estimadas en [30]-[32]. Se observó que dicha probabilidad de errores de bits depende grandemente de ciertos parámetros del sistema, presentados en secciones posteriores. Por ello, con el objetivo de reducir la probabilidad de que estos errores de mediciones ocurran, este trabajo busca desarrollar estrategias de seguridad, basadas en optimización, para encontrar valores óptimos de dichos parámetros que garanticen que la probabilidad de error de bit no sobrepase un límite máximo permitido. Los resultados muestran que al utilizar técnicas de optimización se puede asegurar que los errores se mantengan dentro de un valor aceptable, mientras se asegura una fidelidad razonable en el sistema.

El resto de este artículo está organizado de la siguiente manera. La sección 2 describe el modelo conceptual del sistema de intercambio de clave segura KLJN. La sección 3 presenta la formulación de los problemas de optimización para encontrar los valores óptimos de los parámetros relevantes en el análisis de error. La sección 4 ilustra, a través de simulaciones, la funcionalidad y beneficios de optimizar el sistema de seguridad propuesto. Finalmente, la sección 5 presenta un resumen de los resultados; junto con importantes iniciativas de investigación que se considerarán en eluturo.

2. Sistema de intercambio de clave segura KLJN

A continuación se presenta una descripción del principio de funcionamiento ideal del sistema de intercambio de clave segura KLJN y un resumen del análisis de errores en este esquema.

2.1 Descripción del sistema KLJN

La figura 1 muestra el circuito esquemático del sistema KLJN [4], [6], [16], [17], [21], [22]. Este circuito no presenta elementos de defensa contra ataques activos (o invasivos, es decir ataques en los que el usuario malicioso modifica intencionalmente el sistema con el objetivo de extraer información [1]), ni contra ataques dirigidos a vulnerabilidades representadas por elementos de construcción no ideales.

El canal de comunicación KLJN es un cable. Ambas partes involucradas en la comunicación, Alice y Bob,cuentan con un par idéntico de resistores,R0 y R1 , en donde R0≠ R1 y generalmente R1 >> R0. Estos resistores se utilizan para indicar los dígitos binarios de la clave, donde R0 representa el valor de bit 0 mientras que R1 representa el valor de bit 1. Los generadores de voltaje ruido Gaussiano u0,A(t), u1,A(t) y u0,B(t) ,u1,B(t) representan ya sea el ruido de Johnson de los resistores R0 y R1 de Alice y Bob, respectivamente; o generadores externos de ruido blanco con un ancho de banda público, denotado como BKLJN y temperatura efectiva Teff [4], [6], [16], [17], [21], [22].

Figura 1. Circuito esquemático del sistema KLJN [4], [6], [16], [17], [21], [22].

Al inicio de cada periodo de reloj, también denominado periodo de intercambio de bit, Alice y Bob, quienes están sincronizados en el tiempo, seleccionan aleatoriamente uno de los dos resistores y lo conectan al cable. La configuración del sistema una vez se seleccionen los resistores se muestra en figura 2. Por lo tanto, existen cuatro posibles situaciones de bits en las que estos dos pares de resistores pueden conectarse a la línea de cable: 00, 01, 10 y 11.

Figura 2. Circuito esquemático del sistema KLJN luego de que Alice y Bob conectan el resistor seleccionado aleatoriamente [4], [6], [16], [17], [21], [22].

De acuerdo con el teorema de fluctuación-disipación, el voltaje de ruido de Johnson de los resistores de Alice y Bob, denotados uA(t) y uB(t) donde uA (t) ∈ {u0, A (t), u1, A (t) } y uB (t) ∈{u0,B (t), u1,B (t) },generan un voltaje de ruido de canal u (t) c entre el cable y tierra, y una corriente de ruido en el cable, denotada i(t)c.

Dentro del periodo de intercambio de bit, Alice y Bob (y también Eve), miden la media cuadrática de las amplitudes de voltaje y/o corriente de ruido, es decir imageu2c(t) imagey/o imagei2c (t) image Aplicando la fórmula de Johnson y las leyes de circuito de Kirchhoff, se tiene que los valores teóricos de las medias cuadráticas de las amplitudes de voltaje y corriente de ruido, para un ancho de banda de ruido de canal BKLJN y una temperatura Teff, son [4] [16]:

contraste, los casos cuando ambas partes seleccionan aleatoriamente resistores diferentes, es decir, la situaciones de bit 10 y 01, son considerados como eventos de intercambio seguro de bit porque de acuerdo con la segunda ley de termodinámica [6], [16]-[20], las mediciones de las medias cuadráticas no les permiten a Eve determinar los valores y ubicaciones de los resistores.

respectivamente [4], [16]. En donde imageu2c(t) imagey/o imagei2c (t) image representan los promedios de tiempo infinito (ideal) del cuadrado del voltaje y corriente de ruido del canal, respectivamente, k es la constante de Boltzman y R|| y Rloop representan la conexión en paralelo y serie de los resistores seleccionadas aleatoriamente por Alice y Bob, es decir,

Es importante mencionar que los valores de R|| y Rloop pueden ser conocidos públicamente al medir la media cuadrática del voltaje y/o corriente de ruido del canal y compararlos con los valores teóricos de ecuaciones (1) y (2) [16]. Debido a que tanto Alice como Bob conocen cuáles de sus resistores han sido conectados al canal, las resistencias R|| y Rloop les permite deducir el valor de la resistencia (y por ende el valor de bit) al otro lado del cable [16].

Aquellos casos en que tanto Alice como Bob seleccionan los mismos resistores, es decir los casos de bit 00 y 11, representan un intercambio inseguro de bit. Esto es porque en estos casos Eve sería capaz de deducir los valores de los resistores y su ubicación y por ende el valor del bit, debido a que R|| y/o Rloop sería el máximo lo mínimo de sus tres posibles valores de magnitud. En contraste, los casos cuando ambas partes seleccionan aleatoriamente resistores diferentes, es decir, la situaciones de bit 10 y 01, son considerados como eventos de intercambio seguro de bit porque de acuerdo con la segunda ley de termodinámica [6], [16]-[20], las mediciones de las medias cuadráticas no les permiten a Eve determinar los valores y ubicaciones de los resistores.

Es importante notar que al final de un intercambio seguro de bit, Alice y Bob terminan con valores de bits opuestos. Debido a que en los sistemas de cifrado simétrico ambas partes deben tener la misma clave, Alice y Bob deben acordar previamente (antes de iniciar el intercambio) quién de los dos invertirá su bit, para así contar con la misma secuencia de bits en ambos lados.

Además, en promedio, el 50% de los bits se mantiene porque son seguros y el otro 50% son descartados por el sistema por ser inseguros [16].

La siguiente sección presenta el análisis de error de bits presentado en [30]-[32] y sus respectivas expresiones matemáticas.

2.2 Errores de dígitos binarios en el sistema KLJN

El principio de funcionamiento del sistema KLJN se basa en mediciones de media cuadrática del ruido (voltaje y/o corriente) del canal. Alice y Bob (y también Eve) cuentan con una ventana de tiempo finita para realizar dichas mediciones. Esta ventana, conocida como el periodo de intercambio de bit, es denotada como:

es la frecuencia de intercambio de bit. Debido a esto, los resultados de las mediciones de las amplitudes de ruido de canal presentan inexactitudes estadísticas, ya que si el tiempo disponible para Alice y Bob no es lo suficientemente grande como para obtener estadísticas suficientemente buenas, los mismos no pueden distinguir entre los diferentes niveles de magnitud de la media cuadrática de ruido del canal. En consecuencia, se presentan errores en la interpretación de los valores de bit en el sistema [30]. Dichos errores pueden llegar a ser significativos, especialmente cuando se utilizan algoritmos de amplificación de privacidad (PA, privacy amplification)[25], ya que éstos tienden a amplificar los errores.

El proceso de medición de la media cuadrática del ruido del canal y la interpretación de bits ha sido minuciosamente descrito en la literatura [47]-[49]. Por simplicidad, se procederá a mostrar el proceso para estimar los errores de dígitos binarios cuando el sistema solo mide el voltaje ruido del canal. Un procedimiento similar se puede seguir para el caso de mediciones de corriente.

La figura 3 ilustra los tres posibles niveles de la media cuadrática del voltaje de ruido del canal para las situaciones 00, 01/10 y 11.

Figura 3. Posibles niveles de la media cuadrática del voltaje de ruido del canal (escala arbitraria).

Los valores representan las medias cuadráticas para las situaciones 11,10/01 y 00, respectivamente. Las líneas sólidas representan las mediciones cuando se cuenta con un tiempo infinito(ideal). Por simplificad,R0=R1 para a>>1 . Figura modificada de la versión original, traducida al español [30].

Cabe resaltar que la medición final de la media cuadrática del voltaje de ruido del canal está dada por:

representa la componente DC, es decir, los valores exactos (ideales) de las medias cuadráticas cuando se cuenta con una ventana de tiempo medición t infinita , es el coeficiente de transferencia del dispositivo multiplicador hipotético para proporcionar una unidad de Voltio también para el cuadrado del valor del voltaje de ruido [33], y μt(t) representa la componente AC generada al obtener el valor medio en un tiempo finito y que está ilustrada por las fluctuaciones (aleatorias) alrededor del valor DC (Ver figura 3).

Con muy poca probabilidad, las fluctuaciones (Gaussianas con alta precisión [33]) de los valores promedio medidos, podrían cruzar de un nivel a otro y producir una interpretación de bit errónea por parte de Alice y Bob, causando así un error de bit. Por tal motivo, en [30] se definieron valores umbrales ∆1 y ∆2 (Ver figura 3) para determinar los límites entre los diferentes niveles para la interpretación de las magnitudes de la media cuadrática de voltaje de ruidode canal durante el tiempo T. Dichos umbrales fueron definidos, para fines de normalización, como una fracción de la componente DC de la media cuadráticadel voltaje de ruido de canal medido, es decir [30]:

Las interpretaciones de las mediciones de las medias cuadráticas del voltaje de ruido del canal son: [30]

La tabla 1 resume los diferentes tipos de errores de interpretación de mediciones que podrían ocurrir en el sistema KLJN debido a imprecisiones estadísticas [30].

De acuerdo la tabla 1, los errores en los que la decisión final del sistema es una situación de bit no segura (00 y 11) son autocorregidos por el sistema, ya que el mismo descarta todas las situaciones que comprometen información acerca de la clave. Por lo tanto, solo los casos cuando las situaciones de bit actuales 00 y 11 son interpretados erróneamente como la situación de bit segura 01/10, son de interés [30].

Para estimar las probabilidades de los diferentes tipos de error en el sistema KLJN, en [30] se utilizó la fórmula de Rice [34], [35], la cual calcula el número promedio de cruces por un nivel fijo por un proceso estocástico en un intervalo de tiempo.

Las fórmulas analíticas de las probabilidades de error en el sistema KLJN cuando se mide voltaje de ruido del canal, fueron estimadas con la probabilidad de que las componentes AC,μt(t), crucen los umbrales especificados para cada tipo de error, durante el tiempo t. La estimación de la probabilidad de error se basa en el hecho de que, en el límite de error pequeño, la probabilidad de tener repetidos cruces de umbral dentro del tiempo de correlación del ruido debanda limitada converge a cero. Además, como el tiempo de correlación de μt(t), es igual a T, cada cruce de umbral (en una dirección fija elegida)

Tabla 1. Tipos de errores en el sistema KLJN [30]*(Traducida al español)

Situación Actual
  00 11 01/10
Interpretación de la Medición 00

Correcto

(sin error)

Error, removido

(automáticamente)

Error, removido

(automáticamente)

11

Error, removido

(automáticamente)

Correcto

(sin error)

Error, removido

(automáticamente)

01/10

Error (probabilidad?) Error (probabilidad?)

Correcto (sin error)

indica un error independiente. Por lo tanto, una buena estimación de las probabilidades de error en este límite de error, es el producto del promedio de la frecuencia de cruces de los umbrales ∆ y ∆ , y el tiempo τ [36],[37].

Las probabilidades εu,00 y εu,11 , que denotan los errores cuando las situaciones 00 y 11 se interpretan como la situación 01/10, en el modo de medición de voltaje de ruido, para respectivamente [30]:

A pesar de que estas fórmulas capturan la influencia de los valores de umbral en los errores de bit, la única información que conocemos sobre estos valores de umbral es que fueron definidos como una fracción de la componente DC de la media cuadrática del voltaje deruido del canal. Por lo tanto, uno de los objetivos de este artículo es desarrollar una estrategia basada en optimización para encontrar los valores de umbral óptimos para la interpretación de los bits de la clave en el sistema KLJN, mientras se limita la probabilidad de error de bit permitida.

Además, las expresiones de probabilidad de error muestran una dependencia exponencial de la duración del periodo de intercambio de bits (es decir, la ventana de tiempo disponible para realizar estadística), como se muestra en las ecuaciones (5) - (6). Es decir, cuanto más tiempo Alice y Bob tienen que hacer estadísticas, mayor es la fidelidad del sistema KLJN. Desafortunadamente, aumentar el período de intercambio de bits también significa aumentar la tasa de conjetura de bits exitosa de Eve. Esto se debe a que, para situaciones prácticas, los ataques pasivos exitosos de Eve están restringidos por la duración del período de intercambio de bits. Por lo tanto, en este trabajo también se propone un enfoque basado en técnicas de optimización para encontrar el valor óptimo de la ventana de tiempo de medición que garantiza la probabilidad de error de bit para una fidelidad fija del sistema KLJN y un ancho de banda de ruido fijo. De esta manera, se asegura no solo una fidelidad del sistema razonablemente buena, sino que valor óptimo de la ventana de tiempo de medición que garantiza la probabilidad de error de bit para una fidelidad fija del sistema KLJN y un ancho de banda de ruido fijo. De esta manera, se asegura no solo una fidelidad del sistema razonablemente buena, sino que también debilitará las estadísticas de Eve al restringir la duración del período de intercambio de bits.

3. Formulación del problema

En esta sección, se describe la formulación de los problemas para la optimización de los valores de umbral y de la ventana de tiempo de medición para garantizar que la probabilidad de error de bit permanezca dentro de cierto límite aceptable. Por simplicidad, el análisis se hará para la probabilidad de error ε u,00 , es decir para los errores cuando la situación 00 se interpreta como la situación 01/10 en el modo de medición de voltaje de ruido. Sin embargo, una formulación similar se puede realizar para la probabilidad ε u,11 y también para los errores en el modo de medición de corriente de ruido.

3.1 Optimización de los valores de umbral para interpretación de los bits de la clave en el sistema KLJN

La idea es obtener el valor de umbral óptimo que garantice que la probabilidad de error de bit permanezca por debajo del valor máximo de error permitido. Este valor óptimo de umbral, puede ser visto como el valor mínimo necesitado de β para el diseño de un sistema KLJN que asegure cierto valor de probabilidad de error de bit. La solución de este problema está dada por βinf≤ β < 1, en donde βinf representa el valor óptimo de umbral.

El problema de optimizar los valores de umbral para maximizar el error de probabilidad esta formulado como:

donde εsup representa el valor máximo de error permitido por el diseñador del sistema de antemano, (7.1) garantiza que la probabilidad de error no sobrepase el nivel máximo estipulado y (7.2) define el rango para los valores de umbral.

El problema (7) puede ser fácilmente resuelto utilizando distintas herramientas de optimización [38].

3.2 Optimización del valor de la ventana de tiempo de medición que garantiza la probabilidad mínima de error de bit

El objetivo es desarrollar una estrategia de seguridad basada en optimización que obtenga el valor óptimo de ventana de tiempo de medición τ para asegurar que la probabilidad de error de bits permanezca dentro del límite deseado para un sistema KLJN con fidelidad fija y ancho de banda de ruido fijo. De esta forma, no solo se asegura una fidelidad aceptable del sistema, sino que también se debilita las estadísticas de Eve al restringir la duración del período de intercambio de bits.

Este valor óptimo de τ puede ser visto como el valor mínimo requerido para garantizar cierto nivel de probabilidad de error de bit en el sistema. La solución de este problema está dada por τ inf≤ τ ≤ 50τBKLJN , en donde τinfrepresenta el valor óptimo de τ

donde la definición γ fue utilizada, especificamente representa el valor máximo de error permitido por el diseñador del sistema, T BKLJN0 representa el tiempo de correlación del ruido, definido como

y el límite superior de t elegido en base a las demostraciones experimentales presentadas en [5], en donde estadísticas de ruido de alta fidelidad fueron alcanzados cuando τ =50τBKLJN También, (7.1) garantiza que la probabilidad de error no
sobrepase el nivel máximo estipulado y (7.2) define el rango para τ.

Observe que el problema (9) también puede ser resulto facialmente utilizando herramientas de optimización similares.

4.Resultado Numéricos y Simulaciones

A continuación, se presentan los resultados numéricos y simulaciones para los problemas de optimización de los valores de umbral utilizados en la interpretación de bits y la ventana de tiempo de medición para garantizar que la probabilidad de error de bit permanezca dentro de cierto valor aceptable.

4.1 Optimización de los valores de umbral para la interpretación de los bits de la clave en el sistema KLJN

Para este caso, se consideró el siguiente escenario: εsup =0.025 ,

0 < β < 0.7,

BKLJN = 1000 Hz,

γ >= [50 100 150 200 250] , en donde el rango de los valores de β fue calculados para valores concretos de R y R , específicamente R = 2kOhm y R = 11kOhm , tal como se utilizaron en [5]. Esto es porque por razones obvias (el sistema se quedaría sin bits seguros), β no puede aproximarse a 1.

En tabla 2 se muestran los valores óptimos obtenidos del umbral βinf en (8). Esto también puede ser observado en la figura 4.
Nótese que este problema obtiene el valor mínimo de βinf (representado con “*” en figura 4) que garantiza εu,00 ≤ εsup para diferentes valores de γ .

Tabla 2. Valores óptimos de >βinf que garantizan εu,00 >≤ εsup para diferentes valores de γ

γ βinf
50 0.2241
100 0.2506
150 0.2893
200 0.3544
250 0.5012

Figura 4.Valores mínimos de β que garantizan εu,00 ≤εsup para diferentes valores de γ

Además, se puede observar que los valores de β dependen grandemente del valor de probabilidad de
error εu,00 cuando Se puede observar que los valores de εu,00 incrementan a medida que los valores de β decrecen, lo cual es esperado ya que se necesita un valor alto de β para obtener un valor bajo de εu,00.

También, se observa que esta estrategia de seguridad garantiza una probabilidad de error de bit no mayor a 0.57 bajo ciertas asunciones.

Figura 5. Valores de β necesarios para garantizar cierto valor de εu,00 cuando τ = 50/BKLJN

4.2 Optimización del valor óptimo de la ventana de tiempo de medición que garantiza la probabilidad mínima de error de bit

Para este caso, se consideró el siguiente escenario:

β= [0.50 0.55 0.60 0.65 0.70] . Para este escenario, cualquier valor de β menor a 0.50 provee siempre una probabilidad de error de bit mayor a εsup para todos los valores de τ

Tabla 3 muestra los valores óptimos obtenidos del periodo de intercambio de bits τ nf cuando el valor de β varía. Estos resultados fueron obtenidos utilizando la fórmula para el valor óptimo del periodo de intercambio de bits τinf en (10).

Tabla 3. Valores óptimos de τ inf que garantizan εu,00 ≤ εsup para diferentes valores de β .

β

τ>inf (s)

0.5 0.0500

0.5 0.0413

0.6 0.0347

0.6 0.0296

0.7 0.0255

Los resultados mostrados en tabla 3 y figura 6, demuestran el beneficio de diseñar e implementar estrategias de optimización que obtienen el valor mínimo de τ inf (representado con “*” en figura 6) que garantiza εu,00 ≤εsup para diferentes valores de β . Este modelo, además de garantizar un nivel de probabilidad de error deseado, también permite manejar eficientemente los recursos del sistema al utilizar el valor óptimo del periodo de intercambio de bits, el cual es inversamente proporcional a la tasa de muestreo utilizado.

Es imprescindible mencionar que la seguridad en sistemas de comunicación cableada utilizando el intercambio de clave segura KLJN es un tema considerablemente nuevo, el cual sólo ha sido estudiado matemáticamente y empíricamente en laboratorios [16]-20]. El presente trabajo utiliza los resultados específicos del análisis de errores en el sistema KLJN presentado en [31]-[32], y se aplica optimización a ese modelo específico. Lamentablemente, al ser la primera vez que se le aplican técnicas de optimización a este modelo de análisis de error para este sistema, no es posible encontrar otros resultados para evaluar y comparar. Sin embargo, el plan a futuro es utilizar otros modelos de optimización con el fin de mejorar el rendimiento del propuesto en este artículo.

5. Conclusiones

En este estudio se presentó un nuevo enfoque para optimizar el sistema de intercambio de clave segura KLJN, con el fin de garantizar que la probabilidad de error de bits permanezca siempre dentro del límite permitido. La estrategia de optimización propuesta se enfoca principalmente en controlar óptimamente el umbral para la interpretación de los bits de la clave y la ventana de tiempo para realizar el intercambio de dichos bits, ya que se ha demostrado que los errores estadísticos dependen principalmente de estos parámetros. Además de esto, el problema de optimización consta de restricciones que permiten garantizar que la probabilidad de error de bits no podrá sobrepasar el valor deseado establecido de antemano por el diseñador.

Los resultados numéricos mostraron que las estrategias de optimización propuestas para optimizar el sistema de intercambio de clave segura KLJN, no sólo garantizan que los errores no sobrepasen el límite de error máximo fijo permitido, sino que también permite manejar eficientemente los recursos del sistema al utilizar valores óptimos de los parámetros importantes en el análisis de error. Adicionalmente, se puede concluir que estas estrategias no sólo aseguran una fidelidad del sistema razonablemente buena, sino que también debilitan las estadísticas de Eve al restringir la duración del período de intercambio de bits.

Este trabajo se enfoca principalmente en analizar la probabilidad de error entre Alice y Bob y no considera la probabilidad de error de Eve. En este sentido, estrategias para optimizar el sistema de intercambio de clave segura KLJN que garanticen también que la probabilidad de error de Eve siempre permanezca por encima de un valor deseado podría considerarse una extensión importante de este estudio.

6. Contribución de los Autores

Los autores declaran haber contribuido por igual en la escritura, simulación y análisis de datos de este artículo.

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